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单因素方差分析 ​

标签
学习/心理学
字数
1258 字
阅读时间
5 分钟

本章概览 ​

t-检验和 z-检验不能用于多于2组的数据. 处理这类数据需要用 一种新的推论统计程序: 方差分析（ANOVA）。在方差分析中，我们利用F统计量来比较多组数据之间是否有显著差异。在统计显著性的基础上，我们又会应用两种事后检验方法比较两两之间的差异性，并对 ANOVA 的效应进行评估。

学习要点 ​

  1. 区分单因素设计与因素设计
  2. 掌握ANOVA的逻辑
  3. 理解方差的可分解性
  4. 学会计算F统计值
  5. 掌握利用简便公式进行ANOVA的方法
  6. 学会进行事后检验
  7. 学会计算ANOVA的效应

单因素设计 ​

在方差分析中，因素就是自变量。因此，只有一个自变量的研究被称为单因素设计。具有多个自变量的研究被称为多因素设计。构成因素的个别处理条件被称为因素的水平。

方差的分解 ​

方差的可分解性 ​

  • 指总的离差平方和可以分解为几个不同来源的平方和。

总方差的组成 ​

  • 组间平方和（分子）：处理间方差
  • 组内平方和（分母）：不是由于处理引起的方差
∑(Xi−X―)2=∑(Xi−Xb―)2+∑(Xb―−X―)2

可简化为：

SST=SSW+SSB
  • 公式的理解：总平方和=组内平方和+组间平方和

F统计值 ​

  • F=处理间均方/处理内均方

  • F分布

  • 当F统计量的观测值小于临界值时，说明数据的总变异中，大部分是由实验误差和个体差异所致，不能认为实验处理有效；

  • 当F统计量的观测值大于临界值时，说明实验数据的变异的确由不同的实验处理所造成，即不同处理之间存在差异。

  • 使用F统计量的前提：1.总体正态；2.变异的同质性；3.独立性。

ANOVA的步骤 ​

  1. 陈述原假设 H0 和备择假设 H1，确定进行检验的显著性水平 α
  2. 确定检验的方向性，需要注意的是 ANOVA 检验总是单尾检验
  3. 指出检验的自由度 df，注意在 ANOVA 检验中有两个自由度，分别是组间变异的自由度 (k−1) 和组内变异的自由度 (N−k)，其中 k 为设置水平数，N 为总的样本容量
  4. 根据组间自由度、组内自由度以及显著性水平 α，查表找出临界 F 统计量的值
  5. 对于样本计算 F 统计量的值，画出如下图所示的方差分析表
  6. 比较计算得出的 F 值和临界 F 值，如果 F<Fcrit，则接受原假设 H0，如果 F>Fcrit，则拒绝 H0，接受备择假设 H1
  7. 进行事后检验。

事后检验 ​

  1. ANOVA无法说明哪个备择假设得到支持；
  2. 要进行事后检验以说明各组差异在什么地方；
  3. 事后检验是比较每一个组和另一个处理组，一次比较两个，这称为成对比较。

族系误差 ​

  1. 每一个比较都是一个单独的假设检验，每一个都有犯I类错误的风险。所以，比较对数越多，作结论的风险越大。即容易发现实际不存在的差异。这称为实验导致的 α 水平或族系误差；
  2. 多次比较后犯 I 类错误的概率为 αEW=1−(1−α)c，其中c为比较的次数

Tukey's HSD 检验 ​

  1. 此检验各组要有相同的样本容量;
  2. 可以计算出单一的值确定处理均值间的最小差异，考查此差异在统计上是否显著;
  3. HSD=qMS组内n
  4. q可以查表得到。

Scheffe检验 (Scheffe test) ​

  1. 适用于n不相等的情况;
  2. 降低I类错误的风险，提高II类错误的风险。

ANOVA的效应 ​

  1. 效应大小与统计工具的敏感性无关，它表示几个总体平均值之间的距离，也不依赖样本容量这类测量特性。

  2. 效应量：η2=SS组间SS组间+SS组内

  3. ANOVA 中 r 与效应量关系：η2=r2

  4. ANOVA中效应的评估：

r2 的大小效应的评估
0.01<r2<0.09小的效应
0.09<r2<0.25中等效应
r2>0.25大的效应

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